增透原理

2．1 定性分析

　　光学仪器中，光学元件表面的反射，不仅影响光学元件的通光能量；而且这些反射光还会在仪器中形成杂散光，影响光学仪器的成像质量。为了解决这些问题，通常在光学元件的表面镀上一定厚度的单层或多层膜，目的是为了减小元件表面的反射光，这样的膜叫光学增透膜（或减反膜）。

　　这里我们首先从能量守恒的角度对光学增透膜的增透原理给予分析。一般情况下，当光入射在给定的材料的光学元件的表面时，所产生的反射光与透射光能量确定，在不考虑吸收、散射等其他因素时，反射光与透射光的总能量等于入射光的能量。即满足能量守恒定律。当光学元件表面镀膜后，在不考虑膜的吸收及散射等其他因素时，反射光和透射光与入射光仍满足能量守恒定律。而所镀膜的作用是使反射光与透射光的能量重新分配。对增透膜而言，分配的结果使反射光的能量减小，透射光的能量增大。由此可见，增透膜的作用使得光学元件表面反射光与透射光的能量重新分配，分配的结果是透射光能量增大，反射光能量减小。光就有这样的特性：通过改变反射区的光强可以改变透射区的光强。

2．2 定量描述

　　光从一种介质反射到另一种介质时，在两种介质的交界面上将发生反射和折射，把反射光强度与入射光强度的比值叫做反射率。用表示，，和分别表示反射光和入射光的振幅。

　　设入射的光强度为1，则反射光的强度为，在不考虑吸收及散射情况下，折射光的强度为（1-ρ）。根据菲涅尔公式和折射定律可知：当入射角很小时，光从折射率n₁的介质射向折射率n₂介质，反射率

                  （1）

　　例如光线由很小的入射角从空气射入折射率为1.8的介质时，则反射率为

　　若以入射光的强度为1，则反射光的强度为0.08，折射光的强度为1-0.08=0.92。

　　在介质表面镀一层增透膜，设空气、薄膜、介质的折射率分别为n_1、、n、n₂,薄膜厚度为d，如下图所示：

图1　光在单层膜中反射的示意图

　　在入射角很小的情况下，空气与薄膜之间的反射率为

　　薄膜与介质之间的反射率为

　　如果把入射光线的强度仍设为1，光线①是入射光线经过空气与薄膜的界面一次反射形成的，则其强度为；光线②入射光线经过空气与薄膜的界面两次折射和薄膜与介质的界面一次反射而形成的，其强度为；光线③是入射光线经过空气与薄膜的界面两次折射、一次反射和薄膜与介质的界面两次反射而形成的，其强度为。如果、、，则光线①的强度为，光线②的强度为，光线③的强度为，此光束以后反射到空气中的强度将更小。由此可见，返回空气中的光线主要是①和②，而其它的光线强度非常小可以略去不计。那么，只要光线①和②满足振幅相等，正好反相时，则相互抵消，整个系统的反射光能量接近零。根据增透膜增透过程中能量守恒，透射过去的光能量得到了增强，几乎使全部光透射过去。

　　通过上面的分析我们知道，只要使光线①和②的振幅相等，并且正好反相，这层薄膜就起到了理想的增透作用。欲使光线①和②振幅相等，即强度相等，则．由于非常小，非常接近1，所以，只要就可以实现1和2振幅相等。又因

　　所以①和②振幅相等的条件是：

　　化简上式，薄膜的折射率应满足。一般空气折射率n₁为1，为玻璃折射率为1．5，则增透膜的折射率为，所以人们选择增透膜的折射率应等于1．23或接近它。由于折射率小于氟化镁（折射率为1．38）的镀膜材料很难找到，所以，现在一般都用氟化镁镀制增透膜。

　　另外，要使光线①和②正好反相，对薄膜的厚度有一定的要求。当光从光疏介质射向光密介质时，反射光有半波损失。对于玻璃上的增透膜，其折射率大小介于玻璃和空气的折射率之间，所以，当光从空气透过薄膜射向玻璃时，光线①在空气与薄膜的交界面反射时有半波损失，光线②在薄膜与介质的交界面反射时也有半波损失。所以，当光从空气透过介质薄膜垂直射入玻璃时，光线①和②要干涉相消，只要光线①和光线②的光程相差半个波。则让薄膜厚度（k为自然数，为光在薄膜中波长），这样光线②经薄膜传播一个来回比光线①多行，因为光是波，具有周期性，所以不管k为哪个自然数，光线②与光线①的光程只要相差半个波长，就能达到目的。在这里还要强调光从光疏介质射向光密介质时，反射光有半波损失。而当时，这样光线①和②返回空气中时都经历了一次半波损失，相互抵消，可以不考虑半波损失。下面总结光线①和②的干涉情况与膜的厚度关系为：

　　其中k为自然数，为光在薄膜中的波长。

　　因此，当膜的厚度,则光线①和②重合时，出现干涉相消，从而减弱反射光的强度，增加透射光的强度，起到增透的作用。当然，要满足光线①和②的重合，必须要求光线垂直入射，所以，增透膜在光线垂直入射时效果最好，入射角很小时增透膜也有一定的增透作用，但不如垂直入射时效果好。

2．3 理论解释

　　下面我们再利用电动力学方面的知识，来对光学增透膜的增透机理作出解释。

　　设薄膜厚度为d，处于介质1与介质2之间，由于除铁磁介质外，其他物质的磁导率基本相同。因此设三种介质的磁导率都是。三种介质的电容率分别是  ，，，介质1．薄膜、介质2的折射率分别为，，，且薄膜介质为无损耗介质。为了计算方便，设入射光为线性的单色平面波，且垂直入射到介质与薄膜的交界面Ⅰ（介质1与薄膜交界面为Ⅰ面， 介质2与薄膜交界面为Ⅱ面）。以交界面Ⅰ为x-y面，入射光波的行进方向为z轴方向。入射波的电场沿x轴方向，磁场沿y轴方向，则入射波可以写作

　　式中

　　电磁波入射到介质薄膜里后，又会在交界面Ⅱ上产生反射波，反射波又在交界面Ⅰ产生反射。如此下去，在薄膜层中，便有无穷多个向前、向后进行的电磁波。将向前进行的无穷多个波的叠加写成

　　式中

　　把向后进行的无穷多个波的叠加写成

　　式中

　　介质2中向右进行的波

　　式中

　　利用交界面Ⅰ处的边值关系

在处，得

                      （1）

　　在处，得

            （2）        

　　将（1）式代入（2）式得

                 （3）

　　因为，所以（3）式可写为

                      （4）

　　因为该关系式中含有复数量，所以要使该式成立，它的虚部和实部都等于零，故有

　　因为故只有即

                  （5）

　　从而得出薄膜的厚度

　　式中是电磁波在薄膜中的波长。因为所以。由（4）式中实部为零，并考虑（5）式得

　　当m为偶数时，上式取正号，即

　　解得，此时。这个解说明了当两介质折射率相等时，由于存在着半波损失，反射回来的主要的两束干涉光，一束有半波损失，一束没有．正好考虑半波损失，故薄膜厚度应为半波长整数倍。

　　当m为奇数时，上式取负号，即

　　解得此时， 这个解说明当时，，间于、间，可以不考虑半波损失。与定量描述中的理论相符。

    一般光学介质都是在空气中使用，因此满足第二种情况。我们只要让=（k=1，2，3，4，……），理论上增透膜就能起到完全增透的作用，和前面结论一致。